Definisi
Aljabar Boolean
Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan ⋅ - Sebuah
operator uner: ’. - B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅, dan ’ -
0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
(B, +, ×, ’) disebut aljabar Boolean jika
untuk setiap a, b, c Î B berlaku
aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b Î B
(ii) a × b Î B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a × 1
= a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a × b = b . a
4. Distributif: (i) a × (b + c)
= (a × b) + (a × c)
(ii) a +
(b × c) = (a + b) × (a + c)
5. Komplemen[1]:
(i) a + a’ = 1
(ii) a × a’
= 0
Aljabar
Boolean Dua-Nilai
1.
Aljabar Boolean du B = {0, 1 operator biner, + dan ×}
2.
Operator uner, ’
Kaidah
untuk operator biner dan operator uner:
|
a
|
b
|
a × b
|
a
|
b
|
a + b
|
a
|
a’
|
||
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
||
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
||
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
||||
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Cek
apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure :
jelas berlaku
2. Identitas:
jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i)
0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii)
1 × 0 = 0 × 1 = 0
3. Komutatif:
jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif:
(i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan
membentuk tabel kebenaran:
|
a
|
b
|
c
|
b + c
|
a × (b + c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b) + (a × c)
|
|
0
|
0
|
0
|
|||||
|
0
|
0
|
1
|
|||||
|
0
|
1
|
0
|
|||||
|
0
|
1
|
1
|
|||||
|
1
|
0
|
0
|
|||||
|
1
|
0
|
1
|
|||||
|
1
|
1
|
0
|
|||||
|
1
|
1
|
1
|
(ii)
Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama
seperti (i).
5. Komplemen:
jelas berlaku karena memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1
dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a × a’ = 0, karena 0 × 0’=
0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B =
{0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen
‘ merupakan aljabar Boolean.
Hukum-hukum Aljabar Boolean
|
1.
Hukum identitas:
(i)
a + 0 = a
(ii) a × 1 = a
|
2. Hukum
idempoten:
(i)
a + a = a
(ii) a × a = a
|
|
3. Hukum
komplemen:
(i)
a + a’ = 1
(ii) aa’
= 0
|
4. Hukum
dominansi:
(i)
a × 0
= 0
(ii) a +
1 = 1
|
|
5. Hukum
involusi:
(i)
(a’)’ = a
|
6. Hukum
penyerapan:
(i)
a + ab = a
(ii) a(a + b)
= a
|
|
7. Hukum
komutatif:
(i)
a + b = b + a
(ii) ab = ba
|
8. Hukum
asosiatif:
(i)
a + (b + c) = (a + b)
+ c
(ii) a (b c)
= (a b) c
|
|
9.
Hukum distributif:
(i) a +
(b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c)
= a b + a c
|
10.
Hukum De Morgan:
(i)
(a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’
= a’ + b’
|
|
11.
Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar